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1981年，现任职于普林斯顿大学的理论物理学家伊万德·波利亚科夫(Polyakov)瞥见了量子理论的未来。从弦的摆动到夸克与质子的结合，一系列的谜团都需要新的数学工具，而他能看出来这个工具的轮廓。

他在《物理学通讯》B刊上的一封现在名满江湖的四页信的导言中写道："目前，我们必须开发一种处理随机表面上的和的艺术。"

波利亚科夫的建议被证明是强有力的。在他的论文中，他勾勒出一个公式，大致描述了如何计算一种疯狂混乱的表面类型的平均值，即"刘维尔Liouville场"。他的工作将物理学家带入了一个新的数学领域，这对于解开被称为弦的理论物体的行为和建立简化的量子引力模型是至关重要的。

多年的努力使波利亚科夫为物理学中的其他理论找到了突破性的解决方案，但他从未完全理解刘维尔场背后的数学原理。

在过去的7年里，一群数学家完成了物理学家认为不可能的事情。在分为三部曲的里程碑式的著作中，他们用完全严格的数学语言重塑了波利亚科夫的公式，并证明了刘维尔场完美地模拟了波利亚科夫所要考察的现象。

法国国家科学研究中心的数学家文森特·巴尔加斯说："我们花了40年的数学时间才把波利亚科夫的四页纸弄明白。"他与艾克斯·马赛大学的雷米·罗兹、赫尔辛基大学的安蒂·库皮亚宁、法国国家科学研究中心的弗朗索瓦·大卫和巴黎萨克雷大学的科林·吉拉穆是这项研究的共同作者。

三篇论文在质朴的数学世界和混乱的物理学现实之间架起了一座桥梁——借助概率理论研究上的最新突破而做到这一点。这项工作还触及了在基础物理学的主要理论中占据中心位置的对象——量子场——的哲学问题。

宾夕法尼亚大学的数学家孙昕(音)说："这是数学物理学的杰作。

无限的场

在今天的物理学中，最成功的理论的主角就是场--充满空间的物体，在不同的地方具有不同的值。

以地球的磁场为例。罗盘指针的转动揭示了磁场在地球上每一点的影响(强度和方向)。

然而，由于量子理论的深度随机性，这里的情况更为复杂。从量子的角度来看，地球并没有产生一个磁场，而是有无数个不同的磁场。有些看起来几乎和我们在经典物理学中观察到的磁场一样，但其他的则大不相同。

但物理学家仍然想做出预测——在这种情况下将量子场的无限形式同化为一个单一的"量子场论"或QFT，是艰巨的任务。这是一个关于一个或多个量子场的模型，每个量子场都有无限的变化，理论需要刻画它们如何存在和相互作用。

在巨型实验的支持下，QFT已经成为粒子物理学的基本语言。标准模型就是这样一个QFT，它将电子等基本粒子描述为从无数电子场中产生的模糊凸起。迄今为止，它已经通过了所有的实验检验。

物理学家们玩弄着许多不同的QFT。有些，如标准模型，渴望建立真实粒子在我们宇宙的四维空间(三个空间维度加一个时间维度)中运动的模型。其他的则描述了奇异宇宙中的奇异粒子，从二维平面到六维超世界。它们与现实的联系是遥远的，但物理学家们研究它们，希望获得可以带回到我们自己世界的见解。

波利亚科夫的刘维尔场论Liouville field theory就是这样一个例子。

刘维尔场基于法国数学家约瑟夫·刘维尔(Joseph Liouville)在19世纪开发的复杂分析方程，描述了一个完全随机的二维表面。

这样一个物体可能看起来不像是一个有信息量的物理学模型，但是随机性并不意味着就没有内在模式。例如，钟形曲线告诉我们，在街上随机经过一个七英尺高的篮球运动员的可能性有多大。同样，球状的云和皱巴巴的海岸线也遵循随机的模式，但还是有可能辨别出其大规模和小规模特征之间的一致关系。

刘维尔的理论可以用来识别所有可能的随机、锯齿状表面的无尽景观中的模式。波利亚科夫意识到这种混乱对于弦论来说是至关重要的，因为弦在运动时会勾勒出一个二维面。该理论也被应用于描述二维世界的量子引力。爱因斯坦把引力定义为时空的曲率，但若把它翻译成量子场论的语言，就会产生无限多的时空——就像地球产生无限多的磁场一样。

刘维尔的理论将所有这些表面打包成一个物体。它为物理学家提供了测量随机二维表面上每个位置的曲率——引力——的工具。

孙昕说："量子引力基本上意味着随机几何，因为量子意味着随机，引力意味着几何。”

波利亚科夫探索随机表面世界的第一步是写下一个表达式，定义找到一个特定星型体的几率，就像钟形曲线定义遇到一个特定身高的人的几率。但他的公式并没有带来有用的数字。

要解决一个量子场理论，就是要能用场来预测观测结果。在实践中，这意味着计算一个场的"相关函数"，它通过描述一个点的场与另一个点之间的关联程度来捕捉场的行为。例如，计算光子场的相关函数，可以得到量子电磁学的麦克斯韦方程。

波利亚科夫追求的是更抽象的东西：随机表面的本质，类似于使云成为云、海岸线成为海岸线的统计关系。他需要刘维尔场杂乱无章之间的关联性。几十年来，他尝试了两种不同的方法。他开始使用一种叫做费曼路径积分的技术，最后开发了一种被称为引导法的变通技术。这两种方法都以不同的方式出现了问题，直到数学家将它们结合到更精确的表述中。

加起来

你可能已经想到，对一个量子场的无限多种形式进行核算是几乎不可能的。20世纪40年代，量子物理学先驱理查德·费曼(Richard Feynman)为处理这种令人困惑的情况开发了一种工具，但该方法被证明有严重的局限性。

再拿地球的磁场来说吧。我们的目标是使用量子场理论来预测某一特定地点的罗盘读数。为了做到这一点，费曼建议将所有的场的形式加在一起。他认为，你的读数将代表所有场的可能形式的平均值。将这些具有适当权重的无限场配置相加的程序，被称为费曼路径积分。

这是一个优雅的想法，对选定的量子场产生具体答案。在一般情况下，没有任何已知的数学程序可以有意义地对覆盖无限广阔空间的无限数量的量进行平均。路径积分与其说是一个精确的数学公式，不如说是一种物理学哲学。数学家们质疑它的适用范围，并对物理学家依赖它的方式感到困扰。

德国波恩大学的数学家Eveliina Peltola说："作为一个数学家，我对没有定义的东西感到不安。”

物理学家可以利用费曼的路径积分，为最无聊的场——自由场——计算精确的相关函数，自由场不与其他场甚至与自己相互作用。否则的话，物理学家就必须弄虚作假，假装这些场是自由的，并加入温和的相互作用，或"扰动"。这个程序，即微扰理论，为他们得到了标准模型中大多数场的相关函数，因为自然力量恰好是相当微弱的。

但这对波利亚科夫来说并不奏效。尽管他最初猜测刘维尔场可能适合于添加温和扰动，但他发现它与自身的相互作用太强。与自由场相比，刘维尔场在数学上似乎更难以捉摸，其相关函数无法实现。

揠苗助长

波利亚科夫很快就开始寻找一种解决方法。1984年，他与亚历山大-贝拉文(Alexander Belavin)和亚历山大·扎莫洛奇科夫(Alexander Zamolodchikov)合作，开发了一种叫做"自引导阶梯"(bootstrap)的技术--一种逐渐通向一个场的相关函数的数学阶梯。

要开始攀登这个阶梯，你需要一个函数来表达该场中仅有的3个点的测量值之间的相关性。这个"三点相关函数"，加上一些关于该场的粒子所能获取的能量的额外信息，构成了阶梯的最底层。

从这里，每次爬上一个点。用三点函数来构建四点函数，用四点函数来构建五点函数，以此类推。但是，如果你在三点相关函数开始时，选择了不合适的点，这个程序就会产生矛盾的结果。

波利亚科夫、贝拉文和扎莫洛奇科夫用自自引导阶梯法成功地解决了各种简单的QFT理论，但就像费曼路径积分一样，他们无法使其适用于刘维尔场。

然后在20世纪90年代，物理学家——哈拉尔德·多恩和汉斯·约格·奥托，以及扎莫洛奇科夫和他的兄弟阿列克谢——成功地找到了正确的三点，使之有可能扩展阶梯，完全解决了刘维尔场(及其对量子引力的简单描述)的问题。他们的结果，以其首字母"DOZZ"公式而闻名，让物理学家能够做出涉及刘维尔场的任何预测。但物理学家的成功是源于偶然的，而不是通过合理的数学推导。

"他们是猜测公式的天才。"他们蒙对了。

有依据的猜测在物理学中是有用的，但不能满足数学家的胃口，他们想知道DOZZ公式从何而来。解决刘维尔场的方程式应该来自于对场本身的某种描述，即使没有人对如何得到它有丝毫的想法。

"在我看来，这就像科幻小说，"库皮亚宁说，"这永远不会被任何人证明。"

驯服野生表面

2010年代初，巴尔加斯和库皮亚宁与概率理论家雷米·罗兹和物理学家弗朗索瓦·戴维联合起来。他们的目标是把刘维尔场的数学问题解决掉——把波利亚科夫放弃的费曼路径积分正规化，也许还能揭开DOZZ公式的神秘面纱。

然后，他们意识到一位名叫让·皮埃尔·卡恩的法国数学家早在几十年前就发现了波利亚科夫理论的关键所在。

"从某种意义上说，在我们之前竟然没有人给刘维尔场做出严格的数学定义，那真是超出想象。所有必要的信息都早已被发掘出来了，就是没有人去组合到一起。"

整合工作——从2014年到2020年——成就了数学物理学的三篇里程碑式的论文。

他们首先完成了路径积分，这让波利亚科夫感到失望，因为刘维尔场与自身有强烈的相互作用，使它与费曼的微扰工具不相容。因此，数学家们利用卡恩的想法，将场重塑为略微温和的随机物体，即高斯自由场。高斯自由场中的峰值不会像刘维尔场中的峰值那样随机波动到极端，从而使数学家有可能以合理的方式计算出平均数和其他统计结果。

"不知何故，只要使用了高斯自由场，"Peltola说。"从这一点出发，就可以构建理论中的一切。"

2014年，他们公布了他们的结果：改良了波利亚科夫在1981年写下的公式，但完全是用可信赖的高斯自由场来定义的。这是一个罕见的例子，费曼的路径积分哲学思想找到了坚实的数学地基。

德国电子同步加速器的物理学家Jörg Teschner说："路径积分可以存在，确实存在。

有了严格定义的路径积分在手，研究人员就试着看看是否能用它来从刘维尔场获得答案，并推导出其相关函数。目标是神话般的DOZZ公式。

该团队花了数年时间研究他们的概率路径积分，确认它确实具有使自引导阶梯法发挥作用所需的所有特征。他们成功地在2017年和2020年发表了论文。他们从路径积分中推导出DOZZ和其他相关函数，并表明这些公式与物理学家使用自引导法得出的方程完美一致。

"现在我们完成了，两边的公式都是一样的。"

这项工作解释了DOZZ公式的起源，并将自引导程序——数学家曾认为它太粗糙——与经过验证的数学对象联系起来。总的来说，它解决了刘维尔场的最后谜团。

"这在某种程度上是一个时代的结束，"Peltola说，"但我希望这也是一些新的、有趣的事情的开始。"

巴尔加斯和合作者现在有了一只独角兽，一个强相互作用的QFT以非微扰的方式被一个简短的数学公式完美地表述了出来，而且还能进行理论预测。

现在，字面上的百万美元问题是：这些概率方法能走多远？它们能为所有的QFTs生成整齐的公式吗？巴尔加斯他坚持认为他们的工具是专门针对刘维尔理论的二维环境的。在更高的维度上，即使是自由场也太不规则了，所以他怀疑概率方法是否能够处理我们宇宙中引力场的量子行为。

但重铸波利亚科夫的"万能钥匙"就将打开其他的大门。在概率论中已经感受到了它的影响，数学家们现在可以肆无忌惮地挥舞着以前那些可疑的物理学公式。孙昕和他的合作者已经从物理学中引入方程来解决有关随机曲线的两个问题。

物理学家们也在等待进一步的实际好处。刘维尔场的严格构造可以激励数学家尝试证明其他似乎难以解决的QFT——不仅仅是引力的玩具理论，而是直接影响到现实中最深层物理秘密的真实粒子和力量的规律。